Techniques numériques

01

Systèmes de numération

Quatre bases sont couramment utilisées en informatique. Chaque position représente une puissance de la base.

Décimal

Base 10

0–9

Usage quotidien

Binaire

Base 2

0–1

Circuits électroniques

Octal

Base 8

0–7

Permissions Unix

Hexadécimal

Base 16

0–9, A–F

Adresses, couleurs

Table de correspondance 0–16

Déc	Bin (4 bits)	Oct	Hex

02

Méthodes de conversion

Décimal → Binaire : divisions successives

Exemple : 45₁₀ → binaire

45 ÷ 2 = 22  reste 1  ↑ lire
22 ÷ 2 = 11  reste 0  ↑ de
11 ÷ 2 =  5  reste 1  ↑ bas
 5 ÷ 2 =  2  reste 1  ↑ en
 2 ÷ 2 =  1  reste 0  ↑ haut
 1 ÷ 2 =  0  reste 1  ↑

Résultat (de bas en haut) : 101101₂
Vérif : 32+8+4+1 = 45 ✓

Binaire → Décimal : poids des positions

Exemple : 1011₂ → décimal

  1    0    1    1
  ×    ×    ×    ×
  2³   2²   2¹   2⁰
= 8  + 0  + 2  + 1  = 11₁₀

Décimal → Hexa : divisions par 16

Exemple : 254₁₀ → hexa

254 ÷ 16 = 15  reste 14 → E  ↑
 15 ÷ 16 =  0  reste 15 → F  ↑

Résultat : FE₁₆ = 0xFE

Binaire ↔ Hexa : groupes de 4 bits

💡

Un chiffre hexadécimal = exactement 4 bits. La conversion est directe — aucun calcul intermédiaire.

Binaire → Hexa (groupes de 4)

1010 1111 0011₂

 ↓    ↓    ↓
 A    F    3  → 0xAF3

Chaque groupe indépendamment :
1010 = A (10)
1111 = F (15)
0011 = 3

Binaire ↔ Octal : groupes de 3 bits

Binaire → Octal (groupes de 3)

101 111 010₂

 ↓   ↓   ↓
 5   7   2  → 572₈

Chaque groupe :
101 = 5
111 = 7
010 = 2

💡

Pour convertir Hexa → Binaire : remplacer chaque chiffre hex par son équivalent 4 bits. Pour Octal → Binaire : remplacer chaque chiffre octal par son équivalent 3 bits.

03

Complément à 2

Méthode standard pour représenter les entiers négatifs en binaire. Le bit de poids fort (MSB) indique le signe : 0 = positif, 1 = négatif.

Plage de valeurs sur N bits

N bits	Min	Max	Plage
4	-8	+7	-2³ à 2³-1
8	-128	+127	-2⁷ à 2⁷-1
16	-32768	+32767	-2¹⁵ à 2¹⁵-1
32	-2 147 483 648	+2 147 483 647	-2³¹ à 2³¹-1

Structure d'un mot de 8 bits

1

0

1

0

1

0

1

Signe

2⁶

2⁵

2⁴

2³

2²

2¹

2⁰

Méthode : positif → complément à 2

1

Écrire le nombre en binaire sur N bits
+5 sur 4 bits = 0101

2

Inverser tous les bits (complément à 1)
0101 → 1010

3

Ajouter 1
1010 + 0001 = 1011 → représente -5

Vérification : lire un négatif

1011 en complément à 2 (4 bits)
MSB = 1 → négatif

Méthode rapide : -2^(N-1) + somme des autres bits
= -2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰
= -8 + 0 + 2 + 1 = -5 ✓

Méthode alternative (inverser + ajouter 1) :
1011 → inverser → 0100 → +1 → 0101 = 5
Donc 1011 = -5 ✓

04

Portes logiques

Les portes logiques sont les briques élémentaires des circuits numériques. Elles réalisent les opérations de l'algèbre de Boole.

05

Algèbre de Boole

Ensemble de lois permettant de simplifier les expressions logiques avant de les implémenter en circuit.

Identités de base

Identité ANDA · 1 = A | A · 0 = 0

Identité ORA + 0 = A | A + 1 = 1

IdempotenceA · A = A | A + A = A

ComplémentA · Ā = 0 | A + Ā = 1

Double négationĀ̄ = A

Propriétés

CommutativitéA·B = B·A | A+B = B+A

Associativité(A·B)·C = A·(B·C)

DistributivitéA·(B+C) = A·B + A·C

AbsorptionA + A·B = A | A·(A+B) = A

Simplifications utiles

ConsensusA·B + Ā·C + B·C = A·B + Ā·C

AdjacenceA·B + A·B̄ = A

Exemple de simplification

F = A·B + A·B̄·C + Ā·B

= A·(B + B̄·C) + Ā·B
     ↓ absorption : B + B̄·C = B + C
= A·(B + C) + Ā·B
= A·B + A·C + Ā·B
= B·(A + Ā) + A·C
= B·1 + A·C
= B + A·C

06

Théorèmes de De Morgan

Permettent de transformer un AND en OR et vice-versa, très utile pour la simplification et l'implémentation avec des portes NAND/NOR uniquement.

A·B̄ = Ā + B̄

Le complément d'un AND = OR des compléments

A+B̄ = Ā · B̄

Le complément d'un OR = AND des compléments

Méthode d'application

1

Complémenter l'expression entière

2

Changer tous les · en + et les + en ·

3

Complémenter chaque variable individuelle

Exemple

F = A·B + C
F̄ = De Morgan sur (A·B + C)
  = (A·B)̄ · C̄
  = (Ā + B̄) · C̄

ℹ️

Toute fonction logique peut être implémentée avec des NAND uniquement (ou NOR uniquement) grâce à De Morgan. C'est la base des circuits CMOS.

07 — Karnaugh

Principe & règles de groupement

Le tableau de Karnaugh est un outil graphique de simplification des fonctions logiques. Il évite l'algèbre de Boole en visualisant les regroupements de 1.

Règles impératives

1

Les groupes ne contiennent que des 1 (ou des X — indifférences)

2

Taille = puissance de 2 : 1, 2, 4, 8, 16 cellules

3

Groupes les plus grands possible — plus grand = expression plus simple

4

Le tableau est torique : les bords gauche/droit et haut/bas se touchent

5

Chaque 1 doit être couvert au moins une fois

6

Nombre minimal de groupes pour la forme minimale

Lire l'expression d'un groupe

1

Identifier les variables qui restent constantes dans le groupe

2

Si la variable est à 0 dans tout le groupe → écrire son complément (Ā)

3

Si la variable est à 1 dans tout le groupe → écrire la variable (A)

4

Si elle change (0 et 1) → éliminer cette variable

💡

Un groupe de 2ⁿ cellules élimine n variables. Un groupe de 4 dans un tableau à 4 variables donne un terme à 2 littéraux.

08

Tableau de Karnaugh — 2 variables

2 variables (A, B) → 4 cellules (2²). Groupes possibles : 1, 2 ou 4 cellules.

Exemple : F = Σm(1,2,3)

A\B	B=0	B=1
A=0	0	1
A=1	1	1

Groupe A=0 → Ā (m1,m3)

Groupe B=1 → B̄ ... non, B

Expression minimale

F = Ā·B + A = A + B

Groupe rouge : B=1 (varie) → Ā ; Groupe vert : A=1 → A. F = Ā + A... Simplifié : F = A + B

Structure générale 2 variables

A\B	0	1
0	m0 ĀB̄	m1 ĀB
1	m2 AB̄	m3 AB

ℹ️

Sur 2 variables, la simplification maximale est un groupe de 4 cellules (F = 1 constant), ou deux groupes de 2 cellules.

09

Tableau de Karnaugh — 3 variables

3 variables (A, B, C) → 8 cellules (2³). Les colonnes suivent le code Gray : 00, 01, 11, 10.

Exemple : F = Σm(0,2,4,5,6)

A\BC	00	01	11	10
A=0	1	0	0	1
A=1	1	1	0	1

Groupe rouge (m0,m2,m4,m6) : C=0 → C̄

Groupe vert (m4,m5,m6) : A=1, C varie, B varie... → A·B̄... non → A car C varie et B varie → reste A

Expression minimale

F = C̄ + A·B̄

Structure générale 3 variables

A\BC	00	01	11	10
0	m0	m1	m3	m2
1	m4	m5	m7	m6

⚠️

Code Gray obligatoire : les colonnes sont 00, 01, 11, 10 et non 00, 01, 10, 11. L'ordre est essentiel pour que les cellules adjacentes ne diffèrent que d'un bit.

💡

Toricité : les cellules m0 et m2 (bords gauche et droit de la même ligne) sont adjacentes. Même chose pour m4 et m6.

10

Tableau de Karnaugh — 4 variables

4 variables (A, B, C, D) → 16 cellules (2⁴). Format 4×4 avec code Gray sur les deux axes.

Exemple : F = Σm(0,1,3,5,7,8,9,11)

AB\CD	00	01	11
00	1	1	1
01	0	1	1
11	0	0	0
10	1	1	1

Groupe rouge (8 cellules) : B=0, D varie, C varie, A varie → B̄·D̄... → B̄·D̄

Groupe vert : B=0,A=0,D=1,C varie → Ā·B̄·D... mais couvert → vérifier

Expression minimale

F = B̄·D̄ + Ā·D

Structure générale 4 variables

AB\CD	00	01	11	10
00	m0	m1	m3	m2
01	m4	m5	m7	m6
11	m12	m13	m15	m14
10	m8	m9	m11	m10

ℹ️

Toricité 4 variables : les 4 coins (m0, m2, m8, m10) forment un groupe valide de 4. Les colonnes extrêmes (CD=00 et CD=10) sont adjacentes. Les lignes extrêmes (AB=00 et AB=10) sont adjacentes.

11

Tableau de Karnaugh — 5 variables

5 variables (A, B, C, D, E) → 32 cellules (2⁵). Représenté comme deux tableaux 4×4 juxtaposés : un pour A=0, un pour A=1. Un groupe peut "traverser" les deux tableaux.

⚠️

À 5 variables, le tableau est physiquement deux Karnaugh 4 variables posés côte à côte. Les cellules en miroir entre les deux tableaux (même position) sont adjacentes et peuvent former un groupe.

Exemple : F = Σm(0,2,8,10,16,18,24,26)

A = 0

BC\DE	00	10
00	1	1
01	0	0
11	0	0
10	1	1

A = 1

BC\DE	00	10
00	1	1
01	0	0
11	0	0
10	1	1

Groupe rouge : même position dans les 2 tableaux → A varie, B=0, D=0, E=0 (C varie via toricité) → B̄·D̄·Ē

Expression minimale

F = B̄·D̄·Ē

A varie (dans les 2 tableaux), B=0, C varie (toricité lignes), D=0, E=0 → seules B, D, E sont constantes

💡

Un groupe qui apparaît identique dans les deux tableaux (A=0 et A=1) élimine la variable A en plus des autres.

12 — Référence

Cheat sheet

Puissances de 2

2⁰	1
2¹	2
2²	4
2³	8
2⁴	16
2⁵	32
2⁶	64
2⁷	128
2⁸	256

Karnaugh — tailles

1 var	2 cases, 1×2
2 vars	4 cases, 2×2
3 vars	8 cases, 2×4
4 vars	16 cases, 4×4
5 vars	32 cases, 2× (4×4)
Groupe taille n	élimine log₂(n) vars

Portes — symboles

AND	A · B
OR	A + B
NOT	Ā
NAND	A·B̄
NOR	A+B̄
XOR	A ⊕ B
XNOR	A ⊕ B̄

De Morgan

A·B̄	= Ā + B̄
A+B̄	= Ā · B̄
NAND universel	NOT = NAND(A,A)
NOR universel	NOT = NOR(A,A)

Binaire,Logique & Karnaugh

Systèmes de numération

Méthodes de conversion

Complément à 2

Portes logiques

Algèbre de Boole

Théorèmes de De Morgan

Principe & règles de groupement

Tableau de Karnaugh — 2 variables

Tableau de Karnaugh — 3 variables

Tableau de Karnaugh — 4 variables

Tableau de Karnaugh — 5 variables

Cheat sheet

Puissances de 2

Karnaugh — tailles

Portes — symboles

De Morgan

Binaire,
Logique & Karnaugh